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    1. Phoenix案例:PML(6)——輕松構建多種模型擬合S型曲線

      2020-06-12 15:42:01 來源:源資信息科技(上海)有限公司

      新聞摘要:本案例介紹如何使用PML(Phoenix建模語言)輕松構建出多種對S形曲線及進行擬合的模型。

      前言:

      本案例介紹如何使用PML(Phoenix建模語言)輕松構建出多種對S形曲線及進行擬合的模型。

      ?

      使用的數據:

      數據取自由Heyes和Brown的報告的葉子的生長數據(1956)。

      含水量對距離散點圖如下,可以看到生成的圖形是S形的:


      目的:

      使用下述的一系列S形模型擬合數據:

      ◆ Logistic(邏輯分布累計分布曲線)使用下述的一系列S形模型擬合數據:

      ◆?Gompertz(戈珀茲曲線)

      ◆?Weibull(韋伯分布累計分布曲線)

      ◆?Richards(Richards增長曲線)

      ◆?Morgan-Mercer-Flodin

      ◆?Hill(希爾方程)


      通過該案例展示Phoenix Model操作對象在參數名稱和方程方面的靈活性。

      ◆?為方便起見, 所有模型都參數化α, β, γ, δ。


      具體模型的介紹與實現:

      1.Logistic模型和方程

      特點:

      ◆?Logistic模型是最簡單的S形模型。

      ◆?下漸近線為0,上漸近線為Y的最大值.

      ◆?該模型關于拐點是對稱的。

      ◆?應該用于模擬拐點大約是最大Y的1/2的過程。


      方程:

      3個參數:

      ◆?α=曲線中Y的最大值

      ◆?β=曲線的中點

      ◆?γ=曲線的陡度


      對應的PML代碼:


      2.?Gompertz模型和方程

      特點:

      ◆?Gompertz模型最初用于模擬人類死亡率,先驗假設一個人的死亡抵抗力隨著年齡的增長而降低。今天的應用實例包括精算科學和細菌生長曲線建模。

      ◆?下漸近線為0,上漸近線為Y的最大值.

      ◆?是廣義Logistic函數的特例。其與Logistic函數的不同是S型兩邊不對稱,拐點偏前。

      ?

      方程:

      ?

      3個參數:

      ◆?α=曲線中Y的最大值

      ◆?β=生長速度b

      ◆?γ=生長速率c

      對應的PML代碼:

      ?

      3.?Weibull模型和方程

      特點:

      ◆?累積Weibull模型也稱為“拉伸指數”函數。 它添加了一個參數delta,允許修改拐點。

      ◆?上漸近線是Y的最大值,下漸近線可以是非零。

      ◆?應用:通常用于在固體劑型溶解期間模擬粒度。

      方程:

      ?

      4個參數:

      ◆?α?= 曲線中Y的最大值 (上部漸近線)

      ◆?β?= 下漸近線

      ◆?γ?= 控制拐點的 x 值

      ◆?δ?= 曲線的陡峭度

      對應的PML代碼:

      ?

      4.Richards模型和方程

      特點:

      ◆?Richards模型對非對稱S型曲線建模具有很強的靈活性。它還使用增量參數修改拐點。

      ◆?上漸近線是最大?Y, 下漸近線可以是非零。

      ◆?應用: 增長率曲線

      方程:

      ?

      4個參數:

      ◆?α?= 曲線的最大 Y 值 (上部漸近線)

      ◆?β?= 生長速率

      ◆?γ?= x 軸上的拐點

      ◆?δ?= 控制拐點的 x 值

      對應的PML代碼:


      5.Morgan-Mercer Flodin模型和方程

      特點:

      ◆?Morgan-Mercer-Flodin模型首先用于模擬生物效率,例如對營養素存在的反應。允許不對稱增長(即拐點不一定是1/2最大的)。

      ◆?上漸近線是最大Y,下漸近線可以是非零。

      ◆?應用:增長率曲線


      方程:

      4個參數:

      ◆?α=曲線的最大Y值(上漸近線)

      ◆?β=增長率

      ◆?γ=增長率

      ◆?δ=控制拐點的x值


      對應的PML代碼:


      6.Hill模型和方程

      特點:

      ◆?Hill模型最初用于描述氧與血紅蛋白結合的動力學。它現在被廣泛用于模擬藥效學。使用諸如Emax和EC50之類的參數名稱,這是經典的sigmoid Emax模型。

      ◆?指數gamma可用于修改拐點。 E0的加法允許Y截距為非零。

      ◆?上漸近線是最大Y,下漸近線可以是非零。


      方程:

      ?

      4個參數:

      ◆?α=下漸近線(E0)

      ◆?β=上漸近線(Emax)

      ◆?γ=拐點的x值(EC50)

      ◆?δ=指數控制曲線的陡度(n)


      對應的PML代碼:


      3個參數:

      ◆?α

      對應的Phoenix?Model中的內置模型:

      帶有基線的S型Emax模型


      對應的使用藥效學參數命名的PML代碼:


      使用藥效學Emax模型參數估算初值估算技巧估算當前Hill方程參數初值:

      E0 = 1,來自X = 0處的探索圖

      Emax = 20,來自X = 20的探索圖

      EC50 = 10,來自?Emax

      N =指數任意設定為1(來自簡化模型)

      ?

      結果:

      所有模型的觀察和預測(水分含量)對距離圖:


      模型參數估計值(Theta)表格比較:

      ?

      信息判據(Overall)表格比較:


      參考文獻:

      Gabrielsson、藥動學和藥效學數據分析:概念和應用, 第五版,(2015),PD11案例。


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